Un modello per la simulazione dei materiali porosi in SPICE
Un’analisi comparativa tra foam melaminico e poliuretano espanso, supportata da misure sperimentali e dalla proposta di un nuovo modello di simulazione per la resistenza di flusso, integrato all’interno del software SpicyTL
I contenuti di questo articolo sono stati pubblicati sul n. 475 (maggio 2025) della rivista AUDIOreview.
L’obiettivo principale di questo lavoro era quello di esplorare le caratteristiche acustiche del foam melaminico, un materiale fino ad ora molto poco utilizzato come smorzante all’interno di diffusori acustici, ma nel corso dell’indagine è emersa la necessità di una profonda revisione del modello di simulazione del materiale smorzante all’interno di SpicyTL.
Era nella lista delle “cose da fare” da molto tempo, e lo stimolo iniziale è arrivato grazie a una serie di misure, eseguite su una piccola linea di trasmissione e su tre diversi materiali (fibra acrilica, foam poliuretanico e melamina espansa), condivise da un utente di un forum tematico. Mentre i dati relativi a fibra e foam poliuretanico erano facilmente replicabili in SpicyTL, la melamina mostrava caratteristiche molto peculiari che non rispondevano in modo soddisfacente ai parametri di modellazione esistenti.
Ero già in parte consapevole di questo problema: sebbene SpicyTL offra risultati sufficientemente attendibili con i materiali più comunemente utilizzati all’interno delle linee di trasmissione (e dei diffusori acustici in genere), avevo notato delle criticità quando ci si allontanava troppo dalle loro caratteristiche, che erano quelle utilizzate per sviluppare e tarare il modello stesso. Si tratta in effetti di un modello un po’ rudimentale che modula il valore della resistenza di flusso del materiale in funzione della frequenza con proporzione diretta e lineare.
Ho quindi iniziato a lavorare a un modello più articolato, capace di offrire maggior flessibilità e attendibilità, pur restando sufficientemente semplice da calibrare su materiali differenti.
I primi risultati sono stati molto promettenti e, dopo essermi procurato un foglio di melamina espansa, ho rimesso in funzione una delle mie TL di test per un’indagine più approfondita.
Questo articolo non si propone come una ricerca accademica, ma vuole essere abbastanza accurato da permettere l’elaborazione di un modello di simulazione valido da integrare nel software.
Melamina espansa
La melamina espansa (o foam melaminico) è un materiale fonoassorbente a base di resina melaminica termoindurente che, attraverso un processo di espansione, assume una struttura cellulare aperta simile a una schiuma leggera. Si presenta con una densità molto bassa (tipicamente tra 8 e 12 kg/m³) e una superficie finemente porosa, caratteristiche che le conferiscono ottime proprietà di assorbimento acustico in particolare alle frequenze medio-alte.
Sebbene sia generalmente meno densa del PUR (poliuretano espanso o foam poliuretanico) comunemente utilizzato all’interno dei diffusori (densità tipica 30 kg/m³) al tatto risulta decisamente più rigida, ma anche più delicata.
Ha un’elevata resistenza ai raggi UV, che la rende stabile nel tempo anche in ambienti fortemente illuminati, a differenza delle schiume poliuretaniche che tendono a ingiallire, diventare friabili e a perdere le loro proprietà meccaniche in tempi relativamente brevi se esposte.
Tra le altre caratteristiche interessanti, soprattutto in ambito industriale, segnalo l’elevata resistenza termica (può sopportare temperature fino a 200 °C, sebbene non sia un aspetto critico nei diffusori) e le proprietà ignifughe intrinseche (è auto-estinguente e non emette fumi tossici).
Consiglio comunque una certa cautela nel maneggiarla o tagliarla: tende a polverizzarsi facilmente, quindi è opportuno utilizzare una mascherina protettiva.
I prodotti commerciali più noti sono il Basotect della BASF e il Fonitek del Gruppo Sogimi.
Revisione del modello di impedenza dell'altoparlante
Una modellazione più rigorosa della risposta in frequenza della TL mi ha portato a rivedere preliminarmente anche il modello di impedenza dell’altoparlante.
Ho scelto di adottare il modello di Leach, sul quale non mi soffermerò, rimandando al riferimento [1] per una trattazione completa. Questo modello prevede l’impiego di due parametri e descrive il comportamento dispersivo dell’induttanza della bobina mobile (lossy inductor) con una funzione del tipo:
dove i parametri 𝐾 e 𝑛 rappresentano rispettivamente l’ampiezza e la pendenza della crescita dell’impedenza con la frequenza. Il metodo descrive una procedura analitica per stimare questi parametri a partire da misure di impedenza (modulo e fase), tramite una regressione logaritmica che tiene conto della fase del segnale. Sebbene il calcolo rigoroso sia piuttosto laborioso, è possibile ottenere in pochi minuti buoni risultati anche con un approccio empirico basato su tentativi successivi, soprattutto se si dispone di un grafico dell’impedenza misurata. La Figura 1 mostra le simulazioni delle curva di impedenza dell’altoparlante (Dayton Audio RS100-4) in aria libera senza (in rosso) e con (in verde) il lossy inductor. Per uniformità di visualizzazione ho esportato come file di testo i grafici generati da LTspice e li ho convertiti in formato leggibile da Clio con uno script in Python. In Figura 2 è possibile vedere come in pochi minuti sia stato possibile ottenere un’ottima corrispondenza tra la misura (in rosso) e la simulazione (in nero). Ometto il grafico per motivi di spazio, ma anche le curve relative alla fase dell’impedenza restituiscono una sovrapposizione pressoché perfetta.
Il modello di Leach è stato implementato in LTspice tramite un generatore di corrente controllato in tensione (VCCS), la cui risposta è definita da una funzione nel dominio di Laplace che ne replica il comportamento. Vi assicuro che è più semplice di quanto potrebbe sembrare e lo spiegherò più nel dettaglio nel paragrafo successivo, dal momento che ho utilizzato la stessa tecnica per modellare il comportamento del materiale smorzante.
Revisione del modello del materiale smorzante
Esistono diversi modelli teorici sviluppati per descrivere in modo dettagliato il comportamento acustico dei materiali poroelastici. Tra i più noti ci sono:
Modello di Delany-Bazley: uno dei più utilizzati per la sua semplicità empirica, descrive la resistenza e la reattanza di un materiale poroso in funzione della frequenza e della resistenza di flusso. È valido per materiali a struttura omogenea e in un certo range di frequenze.
Modello di Miki: una variante del Delany-Bazley con coefficienti corretti per una maggiore accuratezza, soprattutto nel campo delle basse frequenze.
Modello di Johnson-Champoux-Allard (JCA): un approccio fisico più completo, che considera la propagazione dell’onda in mezzi porosi saturi d’aria e tiene conto della tortuosità, del fattore di porosità, della viscosità dell’aria e della permeabilità del materiale. In pratica considera la microstruttura del materiale riuscendo a descriverne con maggiore precisione il comportamento in un contesto tridimensionale. È molto accurato, ma anche piuttosto complesso da implementare dal momento che richiede simulazioni FEM e parametri molto difficili da misurare con precisione.
Il modello sviluppato in questo lavoro non intende sostituire e tanto meno migliorare quelli esistenti, ma ha l’obiettivo di fornire una soluzione molto più semplice da integrare in ambienti di simulazione circuitale come LTspice, mantenendo comunque un buon grado di aderenza al comportamento reale. È pensato in particolare per funzionare bene nel range che più ci interessa, ovvero le frequenze medio-basse, richiede solo 3 parametri (facilmente regolabili in modo empirico) e consente di simulare l’effetto del materiale direttamente come resistenza di flusso variabile.
Per arrivare alla definizione della funzione di smorzamento ho iniziato osservando il comportamento del coefficiente di assorbimento di alcuni materiali porosi, che tende ad aumentare rapidamente con la frequenza fino a raggiungere una zona di saturazione.
Il coefficiente di assorbimento acustico (spesso indicato con α) rappresenta la frazione di energia sonora assorbita da un materiale quando un’onda acustica lo colpisce ed è in una certa misura collegato alla resistenza di flusso del materiale. È abbastanza evidente che questo è vero solo in un certo intervallo di frequenze: si pensi ad esempio alla resistenza di flusso che tende a valori molto alti, di fatto impedendo all’onda sonora di penetrare nel materiale; in questi casi il materiale si comporta quasi come una superficie riflettente, con coefficiente di assorbimento che torna a diminuire, specialmente alle basse frequenze.
Ma nell’intervallo di nostro interesse, ovvero per valori della resistenza di flusso tipici dei materiali porosi utilizzati in ambito audio, possiamo aspettarci una buona correlazione tra il comportamento del coefficiente di assorbimento e la resistenza stessa.
Partendo da questa osservazione qualitativa, ho esplorato diverse forme matematiche che potessero riprodurre questo comportamento. La funzione esponenziale si è rivelata particolarmente adatta perché consente di descrivere una crescita inizialmente rapida che si stabilizza oltre una certa frequenza. Dopo varie prove empiriche, sono arrivato alla seguente formula:
dove:
RI è il valore iniziale della resistenza di flusso, ovvero quello a basse frequenze, e SpicyTL lo deriva direttamente dalla densità del materiale;
k è il fattore di crescita massimo rispetto a RI;
f_0 è la frequenza di transizione, che definisce l’intervallo in cui la crescita diventa significativa;
N è un esponente che regola la pendenza della curva.
Come anticipato nel paragrafo precedente, per implementare questa funzione in SpicyTL ho adottato lo stesso approccio utilizzato per modellare l’impedenza dell’altoparlante, ovvero l’impiego di un generatore di corrente controllato in tensione (VCCS) denominato G. Lo schema di come questo circuito viene realizzato in LTspice è visibile in Figura 3.
Il dispositivo G produce una corrente Iout proporzionale alla differenza di tensione ai suoi terminali di controllo. Collegando i terminali di controllo agli stessi nodi di uscita, la tensione di controllo coincide con quella ai capi del generatore stesso. In questo modo la corrente generata è direttamente proporzionale alla tensione applicata, e il generatore si comporta come una resistenza.
Come accennato sopra, per ottenere una resistenza dal valore variabile in funzione della frequenza, possiamo utilizzare la funzione Laplace, supportata nativamente in LTspice, ed applicarla direttamente a G. Come recita il manuale del software: la funzione di trasferimento di questo elemento deve essere espressa in funzione della variabile complessa s. Dal momento che s=jω=j2πf possiamo riscrivere la nostra formula come segue:
Riscrivendo in funzione di s ho utilizzato un “trucchetto” matematico per eliminare la parte immaginaria (in quanto la resistenza è ovviamente una grandezza reale). Ho in pratica utilizzato il modulo della variabile s, ovvero |s|, che corrisponde a 2πf. La sintassi corretta in ambiente SPICE è: abs(s).
Un’altra cosa da sapere quando si utilizza la funzione Laplace è che la resistenza viene definita come una conduttanza, ovvero l’inverso della resistenza (1/R), pertanto la direttiva da inserire in LTspice diventa:
Laplace=1/(RI+(k-1)*RI*(1-exp(-((abs(s)/(2*pi*f_0))^N))))
Una piccola nota per gli smanettoni di LTspice: a causa del modo in cui il risolutore circuitale gestisce le gerarchie, non è stato immediato trasferire i parametri presenti nella funzione Laplace (che si trova all’interno di un sottocircuito) nel foglio principale, dove risulta decisamente più pratico inserirli per chi utilizza SpicyTL.
Per risolvere il problema, ho riscritto la funzione nel seguente modo:
Laplace = 1 / (|Rf(s)|)
e l’ho associata a una direttiva .text:
.text Rf(s) = “(RI+(k-1)*RI*(1-exp(-((abs(s)/(2*pi*f_0))^N))))/S_damp*Delta_z”
Questa direttiva è stata poi salvata in un file .inc (ad esempio param.inc) e richiamata nel sottocircuito con:
.inc param.inc
A differenza di una direttiva .text scritta direttamente nel corpo del sottocircuito (che darebbe errore), il trucco — scoperto quasi per caso — è che se la .text viene inserita nel sottocircuito tramite un file .inc, LTspice la elabora comunque prima dell’espansione del sottocircuito e la considera a livello globale. I parametri definiti nel foglio principale (k, f_0, N) risultano quindi già disponibili al momento della sostituzione.
Edit 04/01/2026
Con l’ultimo aggiornamento di LTspice, la sintassi per la funzione Laplace è leggermente cambiata, diventando meno permissiva, ma anche più elegante.
Il simbolo del modulo || non è più ammesso; d’altra parte, poiché il modulo è già implicitamente gestito dalla funzione, il suo utilizzo era comunque superfluo.
Inoltre, ora è possibile (anzi, necessario) utilizzare il comando .func per importare la funzione salvata in un file .inc.
La sintassi corretta diventa quindi:
Laplace = 1 / (Rf(s))
.func Rf(s) = (RI+(k-1)RI(1-exp(-((abs(s)/(2pif_0))^N))))/S_damp*Delta_z
Vediamo ora come risponde il modello ai materiali poroelastici reali. Ho creato sei copie del circuito visibile in Figura 3 e ho settato i parametri per replicare il grafico relativo al coefficiente di assorbimento del Basotect G+ e misurato per vari spessori. Nella sua relativa semplicità sembra che il modello riesca a riprodurre in maniera soddisfacente il comportamento della resina melaminica (Fig. 4). Sottolineo che il grafico relativo alla simulazione rappresenta la resistenza di flusso del materiale, mentre quello relativo al materiale reale rappresenta il suo coefficiente di assorbimento, pertanto i parametri non possono essere trasportati tali e quali in SpicyTL, ma devono essere reimpostati, sempre in modo empirico, tenendo conto delle misure sulla linea di trasmissione di test. Il parametro che varia di più al variare dello spessore del materiale (e si può intuire anche a livello qualitativo osservando il grafico) è la frequenza di transizione, che varia dai 250 Hz dello spessore 100 mm fino ai 2500 Hz dello spessore 20 mm.
Applichiamo finalmente il nuovo modello a SpicyTL e vediamo innanzitutto come si comporta con il foam poliuretanico (PUR). Per avere un quadro più ampio le simulazioni e le misure sono estese fino a 2 kHz, ma possono essere considerate valide fin poco spora 1 kHz. Va infatti ricordato che LTspice opera in dominio lumped, ovvero secondo un modello monodimensionale a parametri concentrati, molto semplice ed efficace per simulare il comportamento alle basse frequenze, ma che non tiene conto della propagazione tridimensionale, della direzionalità né della radiazione dell’onda acustica nello spazio. La TL di test utilizzata è quella con l’altoparlante Dayton Audio RS100-4, già descritta in [2]. Ho inserito nella TL, per tutta la sua lunghezza, una striscia di foam liscio con spessore 19 mm, pari ad un riempimento del 50% della sezione.
In Figura 5 vediamo come il modello riesca a riprodurre molto fedelmente la misura fatta sull’uscita, che è anche la più difficile da replicare. I livelli non sono normalizzati: la misura come la simulazione sono state effettuate a 2 mm di distanza dall’apertura. Una tale sovrapposizione era impensabile con il vecchio modello basato su una semplice proporzionalità lineare tra frequenza e resistenza di flusso.
In Figura 6 vediamo invece la stessa simulazione fatta con il foam melaminico; anche in questo caso ho ritagliato una striscia da una lastra da 19mm. I parametri impostati si discostano molto da quelli utilizzati con il PUR e, in particolare, la frequenza a cui il materiale inizia ad agire in modo significativo è sensibilmente più alta rispetto al foam; la f_0 per il PUR è impostata a 500 Hz contro i 900 Hz della schiuma melaminica.
Se mettiamo a diretto confronto le misure fatte sui due materiali (Fig. 7) notiamo come la melamina consenta un output più alto di basse frequenze dall’apertura insieme ad una migliore attenuazione delle frequenze da circa 300 Hz in avanti. Purtroppo c’è anche un prezzo da pagare: SpicyTL ci fornisce un feedback abbastanza preciso su quanto il materiale impatti sulla velocità del suono nella transmission line. Valutare la velocità del suono dalla risposta all’impulso non è semplice e nemmeno raccomandabile [2, 3], ma possiamo fare una valutazione abbastanza precisa basandoci sulla posizione dei picchi di risonanza rilevati dalla misura della SPL all’uscita. Per ottenere una corrispondenza perfetta la velocità del suono deve essere impostata a 200 m/s per il PUR e a 220 m/s per la melamina. Da questo dato possiamo aspettarci un effetto meno marcato della melamina sulla riduzione virtuale del volume dovuta alla presenza del materiale smorzante.
Ancora un commento sulla Figura 7: poco sopra ho affermato che il poliuretano espanso inizia ad agire in modo significativo a una frequenza inferiore rispetto alla schiuma melaminica, eppure dal grafico sembrerebbe il contrario. La spiegazione si trova in Figura 9, dove possiamo anche leggere i valori dei parametri impostati per la simulazione dei due materiali: il più alto valore finale della resistenza di flusso (determinato da k) e la pendenza più moderata (determinata da N) fanno sì che la melamina “sorpassi” il poliuretano già a 200 Hz.
La situazione si ribalta quando portiamo la percentuale di riempimento a valori prossimi al 90% della sezione della TL (Fig. 8). In questo caso, la melamina attenua in modo eccessivo le basse frequenze, al punto da rendere l’apporto dell’apertura quasi trascurabile nella risposta globale del sistema. Alle alte frequenze mantiene una buona efficacia, ma il foam recupera il gap, risultando praticamente equivalente alla melamina.
Resta da chiarire in che misura il comportamento osservato sia determinato dallo spessore effettivo del materiale e quanto invece dipenda dalla percentuale di riempimento della linea. A bassi livelli di riempimento, almeno fino al 50%, l’esperienza suggerisce che sia ancora possibile parlare di spessore: il materiale è distribuito lungo le pareti e l’onda acustica interagisce con uno strato relativamente definito. Ma man mano che la percentuale aumenta, il concetto stesso di spessore tende a perdere significato, sovrapponendosi con quello di lunghezza del percorso che l’onda deve attraversare all’interno del materiale. In queste condizioni la melamina (probabilmente per la sua porosità estremamente fina) non si comporta più come uno strato assorbente, ma come una massa di materiale che l’onda è costretta ad attraversare completamente. E in questo attraversamento, più che assorbita, l’onda viene in gran parte bloccata o riflessa.
È un cambio di regime che evidenzia quanto, nel progetto delle TL (e più in generale nei carichi acustici smorzati), non sia sufficiente scegliere il materiale giusto, ma sia fondamentale dosarlo e posizionarlo correttamente.
Durante le misure effettuate con percentuali di riempimento elevate, ho avuto anche un riscontro visivo molto chiaro: il movimento pistonico dell’altoparlante tendeva a far muovere vistosamente la melamina, che, a differenza del foam, in quelle condizioni si comportava praticamente come un tappo. Questo effetto dinamico, oltre a limitare ulteriormente il passaggio dell’onda acustica, può introdurre comportamenti reattivi indesiderati e soprattutto imprevedibili, dal momento che il modello di simulazione assume che il materiale resti statico. Per evitarlo, è importante che la melamina sia ben fissata alle pareti interne della linea di trasmissione, anche nelle condizioni operative più consuete.
Conclusioni
Questo lavoro è nato con l’intento di esplorare le proprietà acustiche della melamina espansa come materiale smorzante nei diffusori a linea di trasmissione, ma si è presto evoluto in un’analisi più ampia, che ha richiesto la revisione del modello di simulazione di SpicyTL, sia per quanto riguarda l’impedenza dell’altoparlante, sia per la modellazione della resistenza di flusso variabile dei materiali porosi.
È stato sviluppato un nuovo approccio, semplice ma flessibile, per descrivere la variazione della resistenza in funzione della frequenza, basato su una funzione parametrica facilmente integrabile in LTspice. Il modello è stato poi confrontato con misure reali sui materiali porosi più comuni (PUR e melamina), mostrando un’ottima corrispondenza.
Dalle osservazioni sperimentali emerge in modo evidente come la flow resistivity sia fortemente influenzata dallo spessore effettivo del materiale, e che questo parametro abbia un impatto rilevante, in particolare sulla frequenza di transizione f_0.
Un riempimento eccessivo della TL — in particolar modo con melamina espansa — introduce comportamenti indesiderati che influenzano negativamente le performance del sistema.
La melamina, se utilizzata nelle giuste quantità, offre ottime prestazioni su tutto lo spettro delle frequenze di interesse audio, ma richiede volumi maggiori rispetto al poliuretano. Questo la rende particolarmente adatta a progetti a due vie con midwoofer, dove è importante limitare l’emissione di frequenze medie dall’apertura.
Per i subwoofer, che non emettono nello spettro medio-alto, può invece risultare preferibile il foam poliuretanico, che offre prestazioni consolidate e consente una notevole riduzione del volume del mobile, grazie al forte impatto che esercita sulla velocità del suono.
Alcuni test condotti con melamina nel primo terzo della TL e PUR nella restante lunghezza suggeriscono che le configurazioni miste meritano ulteriori approfondimenti.
L’esperienza maturata indica che una percentuale di riempimento ottimale si aggiri intorno al 50% della sezione della linea, permettendo un buon bilanciamento tra smorzamento delle frequenze alte e mantenimento delle prestazioni in bassa frequenza. Sarebbe comunque utile proseguire l’indagine in modo sistematico, per chiarire meglio quanto lo spessore del materiale incida sulla risposta della TL. Questo permetterebbe di costruire una base parametrica di riferimento, utile per applicazioni future e per una più agevole calibrazione del modello.
Riferimenti
[1] W. Marshall Leach, Loudspeaker Voice-Coil Inductance Losses: Circuit Models, Parameter Estimation, and Effect on Frequency Response (JAES, VOL. 50, NO. 6, 2002 JUNE)
[2] Andrea Rubino, Progettare una linea di trasmissione utilizzando SPICE (AR 408, aprile 2019; AR 409, maggio 2019; AR 410, giugno 2019)
[3] Joseph D’Appolito, Testing Loudspeakers (Audio Amateur Press, 1998)